كلية التربية الاساسية / حديثة

م.صالح محمد حسين 

في هذا المقال سنقدم نبذة تاريخية عن موضوع مهم في الرياضيات وهو التحليل الدالي ( Functional analysis ) ونبين نشأته واهميته كأحد فروع الرياضيات وكما يأتي :-

التحليل الدالي ( Functional analysis) : هو أحد فروع الرياضيات الذي يهتم بدراسة فضاءات الدوال ويشمل التحليل الدالي دراسة الفضاءات الاتجاهية ذات أي عدد (ليس بالضرورة منتهِ) من الأبعاد ودراسة المؤثرات المعرفة عليها بمزاوجة الطرق الجبرية والتحليلية. كما يشمل التحليل الدالي دراسة التحويلات، مثل تحويل فورييه وتطبيقها في دراسة المعادلات التفاضلية والتكاملية، كما يشمل دراسة التابعيات المعرفة على فضاءات الدوال من خلال حساب التغيرات مثلا. وللتحليل الدالي تطبيقات هامة في الفيزياء وبالذات ميكانيكا الكم وفي علم الاقتصاد و الامثلية.

في أواخـر القرن التاسع عشر ظهرت المفاهيم التي ستجتمع فيما بعد تحت اسم التحليـل الدالى، و في بدايات القرن العشرين أخذت تعريفات الفضاءات و المؤثرات صورتها الحالية في ظل التوجـه السائد في تلك الفترة نحو التجريـد وكذا التوجه نحو نظـام يعتمد على المسلمات "Axiomatic" أسهم أيضاً في تأسيس صياغة مجردة للجبر الخطى .

في هذا السياق يمكن تعقـب بداية التحليـل الدالى إلى جهـود الرياضى والفيزيائي الإيطـالى فيتو فولتيرا الذي حاول تطوير طرق مشابهة لطرق كرامر لكن لدراسة المعادلات التكاملية. فقط في البداية نشير إلى مفهـوم " المؤثـرات Operators " و هي دوال مجالها (وأحياناً مداها) مجموعة من الدوال ، وأبسط مثال هو مؤثر الاشتقاق ؛ و على وجه الخصوص تسمى المؤثرات التي يقع مداها في مجموعة الأعداد الحـقيقية {displaystyle {mbox{ }}mathbb {R} {mbox{ }}}أو المركبة {displaystyle {mbox{ }}mathbb {C} {mbox{ }}}بـ " الدالِّيات Functionals " .

في عام 1896 ، و في أحد أبحاثه ، بدأ ?ولتيرا باعتبار المؤثر الذي ينقل كل دالة متصلة{displaystyle {mbox{ }}f{mbox{ }}} إلى دالة {displaystyle {mbox{ }}arphi {mbox{ }}}متصلة و تمثل حلاً للمعادلة التكاملية{displaystyle f(x)=arphi (x)-int _{a}^{x}k(x,y)arphi (y)dy}{displaystyle {mbox{ }}k{mbox{ }}} {displaystyle arphi =(I-k)^{-1}f=f+Kf+K^{2}f+cdots }استكمل هذه المجهودات كلاً من الرياضي السويدي إريك إي?ار فريدهولم(7 أبريل 1866 - 17 أغسطس 1927) "Erik Ivar Fredholm" والرياضي الألماني دافيد هيلبرت (23 يناير 1862 - 14 فبراير 1943)خلال العقد الأول من  القرن العشرين، وجدير بالذكر هنا أن هيلبرت - وخلال هذه الدراسة المتعلقة بالمعادلات التكاملية - اهتم بالدور الذي تلعبه مجموعة المتتابعات الحـقيقية {displaystyle {mbox{ }}{x_{n}}{}} التي تحقق {displaystyle {mbox{ }}Sigma _{n=1}^{infty }|x_{n}|^{2}{mbox{ }}}هذه المجموعة ستعرف فيما بعد بالفضاء . {displaystyle ell _{2}}

تبعت فترة النشأة المبكرة أعمال موريس فريشيه "Maurice Frechet" الذي عرف مفهوم فضاءات المسافة في 1906 واهتم بدراسة المسافات المعرفة على فضاءات الدوال، وكذلك الأخوين فريجوس "Frigyes Riesz" ومارسيل ريس "Marcel Riesz" ثم أعمال المدرسة البولندية الممثلة في هوجو شتاينهاوس "Hugo Steinhaus" وستيفان باناخ "Stefan Banach"(30 مارس 1892 - 31 أغسطس 1945).ويعتبر كتاب باناخ "نظرية العمليات الخطية Theorie des Operations Lineaires" الذي نشر عام 1932 والذي يتضمن أعمال رسالته للدكتوراه التي كتبها عام 1922 هو البداية الرسمية للتحليل الدالي كفرع مستقل بذاته من فروع الرياضيات، ويتضمن هذا الكتاب المفاهيم والتعريفات الأساسية للتحليل الدالي والنظريات الأساسية التي بني عليها هذا الفرع.

وقد أنتجت العقود الثلاثة الأولى من القرن العشرين بضعة نظريات أساسية في موضوع التحليل الدالي ويمكن اعتبارها بمثابة أركان هذا البناء الرياضى ، ومن هذه النظريات (المبادىء) الأساسية الثلاث نظريات التالية:

·       نظرية هان- باناخ Hahn - Banach Theorem

·       نظرية المحدودية المنتظمة Uniform Boundedness Theorem

·       نظرية الصورة المغلقة Closed Graph Theorem

ومن امثلة تطبيقات التحليل الدالي في العلوم الاخرى كما ذكرنا في بداية الموضوع الفيزياء حيث تعتمد الفيزياء منذ أعمال نيوتن على المعادلات التفاضلية والتكاملية، لذلك كان من الطبيعي أن يكون هناك ارتباط بين التحليل الدالي وبين الفيزياء، لكن التحليل الدالي اجتذب اهتماماً أكبر وسط علماء الفيزياء عند صدور كتاب "الأسس الرياضية لميكانيكا الكم Mathematical Foundations of Quantum Mechanics^[2] " الذي وضعه العالم المجري جون فون نيومان(28 ديسمبر 1903 - 8 فبراير 1957) في 1929 .

ومازال التحليل الدالي يمثل أداة أساسية للفيزياء من خلال نظرية المؤثرات ومن خلال دوره في دراسة المعادلات التفاضلية والتكاملية وهو الدور الذي تعزز بابتكار الدوال المعممة " generalized functions" على يد كل من العالم الروسي سيرجي سوبوليف " Sergei Lvovich Sobolev" والفرنسي لوران شوارتز "Laurent Schwartz " في أربعينيات القرن العشرين.

وكذلك من تطبيقات التحليل الدالي في علم الاقتصاد حيث دخلت الطرق الكمية والرياضية في علم الاقتصاد منذ بداياته، وتعزز دور الرياضيات في علم الاقتصاد خلال القرن التاسع عشر، بينما بدأ استخدام التحليل الدالي في ثلاثينيات القرن العشرين من خلال البرمجة الخطية والأمثلية، ومن أعلام تطبيق التحليل الدالي في علم الاقتصاد عالم الرياضيات الروسي الحاصل على جائزة نوبل في الاقتصاد ليونيد كانتروفيتش