نظرية الدالة الهندسية في تطبيقات الحياة الواقعية

أ. د. عبدالرحمن سلمان جمعة الحديثي-الرياضيات

eps.abdulrahman.juma@uoanbar.edu.iq

الصفحة الرسمية الالكترونية للكاتب

نظرية الدالة الهندسية

 نظرية الدالة الهندسية هي فرع من فروع التحليل العقدي  الذي يتعامل مع الخصائص الهندسية للدوال التحليلية. إن نظرية ريمان الشهيرة لرسم الخرائط حول استبدال المجال التعسفي (الدالة التحليلية) بقرص الوحدة المفتوحة هي حجر الأساس لنظرية الدالة الهندسية.  فيما بعد ، درس  Koebe كويبي سنة1907 و  بيبرباخBieberbach  1916 الدوال التحليلية أحادية التكافؤ التي تحدد E على المجال مع بعض الخصائص الهندسية الرائعة. تؤدي هذه الوظائف وتعميماتها دورًا رئيسيًا في التطبيقات ، مثل ؛ معالجة الصور ومعالجة الإشارات. الدوال  ذات الدوران المحدود ، أي الدوال التي يكون لمشتقاتها جزء حقيقي إيجابي وتعميماتها لها صلة وثيقة جدًا بفئات مختلفة من الدوال أحادية التكافؤ التحليلية. تم النظر في هذه الفصول من قبل العديد من علماء الرياضيات مثل نوشيرو ووارشاوسكي 1935, شيشرا1917 غودمان (1983) ونور (2009).

بعض تطبيقات نظرية الدالة الهندسية

1- تستخدم نتائج نظرية الدالة الهندسية في العديد من مجالات الرياضيات التطبيقية من الفيزياء الرياضية إلى علوم الكمبيوتر. 2- لكن العمل السابق حول هذا الموضوع وجد بالفعل تطبيقات ، أحيانًا غير متوقعة ، مثل ؛ نظرية التحكم وعلوم المواد وعلوم الكمبيوتر ومعالجة الإشارات والفيزياء الرياضية والفيزياء الفلكية وبرمجة ألعاب الفيديو

 نظرية الدالة الهندسية لتمثيل الصورة

1- في الوقت الحاضر ، في العصر الرقمي ، مشاكل تحليل وإدارة المعلومات في البيانات الضخمة ، وكثير منها هو. 2- بصري ، جعل مسألة تمثيل الصور أكثر كفاءة. 3- تمثيلات الصور مهمة لكل من المعالجة الحسابية لبيانات الصورة والتحويلات الوسيطة واستخراج الميزات وكذلك للمهام المعرفية عالية المستوى مثل بناء الأوصاف الرمزية والفهم النهائي للصور.

عينات الصور

النمذجة  والكمية

 ما هي الصورة؟

يمكننا التفكير في الصورة كدالة ، من R2 إلى R: تعطي f (x ، y) الكثافة عند الموضع (x ، y) من الناحية الواقعية ، نتوقع أن يتم تحديد الصورة فقط على مستطيل ، بنطاق محدود: f: [a، b] x [c، d] à [0،1] الصورة الملونة هي مجرد ثلاث دوال تم لصقها معًا. يمكننا كتابة هذا كدالة ذات قيمة متجهة.

الصور كدوال

ما هي الصورة الرقمية؟

نعمل عادة على الصور الرقمية (المنفصلة):

1- أخذ عينة من الفضاء ثنائي الأبعاد على شبكة منتظمة. 2- تحديد كمية كل عينة (التقريب إلى أقرب عدد صحيح)  إذا كانت عيناتنا منفصلة عن بعضها البعض ، فيمكننا كتابة هذا على النحو التالي: f [i، j] = Quantize {f (i D، j D)} يمكن الآن تمثيل الصورة كمصفوفة من القيم الصحيحة.

معالجة الصورة

1- تعرف عملية معالجة الصور عادةً انها صورة جديدة g من حيث صورة موجودة f.

2- يمكننا تحويل إما مدى f. أو مجال f:

ما أنواع العمليات التي يمكن أن تؤديها كل واحدة؟

الصور - الالتقاط والمعالجة

التقاط صور من العالم الحقيقي

صورة - صورة ثنائية الأبعاد تم التقاطها من مشهد من العالم الحقيقي تمثل حدثًا مؤقتًا من العالم المكاني ثلاثي الأبعاد.

مفاهيم الصورة

  الصورة هي دالة لقيم الشدة على مستوى ثنائي الأبعاد I (r ، s) -1  دالة العينة على فترات متقطعة لتمثيل صورة في شكل رقمي - مصفوفة قيم الكثافة لكل مستوى لوني - يتم تمثيل الكثافة عادةً بـ 8 بتات 3- تسمى نقاط العينة بالبكسل.

 الصور الرقمية

1- العينات = وحدات البكسل.  2- لتكمية = عدد البتات لكل بكسل.  مثال: إذا أخذنا عينة من صورة التلفزيون القياسية (525 خطًا) وقياسها باستخدام VGA (مصفوفة رسومات الفيديو) ، فإن وحدة التحكم في الفيديو تنشئ مصفوفة 640 × 480 بكسل ، ويتم تمثيل كل بكسل بعدد صحيح 8 بت (256 مستوى رمادي منفصل)

تطبيق لتحليل النسيج

1- المهمة ذات الأهمية الخاصة في الرؤية الاصطناعية هي توصيف أو وصف القوام. تكمن المشكلة هنا في العثور على ميزات مثيرة للاهتمام لوصف نسيج معين. بعبارة أخرى ، إذا تمكنا من حساب الوصف الجيد للميزات ، فيمكننا وصف نسيج بشكل أفضل . 2- يبدأ بفحص استخدام التمثيل أحادي المنشأ للتوصيف المحلي لشيء مزخرف مصور.